Fondamenti della meccanica atomica
La relazione di completezza (nel caso dello spettro continuo) è:
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e nel secondo :
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Anche nel caso generale la (53) e la (54) si potrebbero facilmente mettere sotto forma trigonometrica.
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Questo integrale si può mettere in relazione con Δk nel modo seguente.
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La ragione della distinzione sta nel comportamento delle soluzioni nell'intorno del punto : nel caso della singolarità fuchsiana qualunque integrale
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Siccome poi n, nel caso più favorevole, ha il valore 1, si ritrovano le relazioni (94').
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) rappresenta la probabilità, algebricamente considerata (1) Cioè la differenza tra la probabilità dei passaggi nel verso positivo e quella dei passaggi nel
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(1) Cioè la differenza tra la probabilità dei passaggi nel verso positivo e quella dei passaggi nel verso negativo.
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Ciò premesso, nel nostro caso la (131') diviene l'equazione a derivate ordinarie
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con k costante: essa è l'equazione studiata nel § 8 ed ha per integrale generale
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invece, la curva può avere due aspetti diversi secondo che la forza viva E supera o no . Nel primo caso è reale e quindi la curva è di forma
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Polinomi di Legendre. Consideriamo l'equazione (235) dapprima nel caso di , nel qual caso la Y non dipende da e si identifica (a meno di un fattore
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Se si opera come nel caso precedente, ponendo
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(1) In tedesco «quantum», parola latina usata in tedesco nel significato sostantivale di «quantità», «dose».
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L'interesse di queste funzioni sta nel fatto che esse sono soluzioni di una notevole equazione differenziale, come può vedersi nel modo seguente
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Tenendo poi presente che ognuna delle funzioni , si scinde nel prodotto di tre fattori , si vede che ognuno degli integrali tripli (287) si scinde
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Nel caso particolare di un solo grado di libertà, la condizione di Sommerfeld coincide con quella (303') che abbiamo dedotto in via approssimata
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Quindi la frequenza emessa nel salto quantico considerato è
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Aggiungiamo inoltre che la f(x) resterebbe individuata (nel senso chiarito sopra) dalle anche se la serie non fosse convergente assolutamente, ma
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(F simbolo di funzione analitica), si ha anche nel secondo sistema
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Nel seguito, ci occuperemo soltanto di operatori hermitiani e di matrici hermitiane.
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mentre nel punto 0 la è infinita, e precisamente tale che sia
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Nel caso che invece X, Y, Z,... non siano compatibili tra loro, questo procedimento evidentemente non è più applicabile. Tuttavia, data una funzione
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il primo membro si muta nell'operatore che è applicato a nel primo membro della (79).
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Trasformiamo questa espressione in operatore, come si è fatto nel caso di una sola particella, sostituendo
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come nel caso di una particella sola.
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Si noti che, mentre nel caso di una sola particella la rappresenta delle onde, fittizie, ma nello spazio ordinario, nel caso di N particelle non si
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(m' prende il nome di massa ridotta). Corrispondentemente la potrà spezzarsi (v. § 20) nel prodotto
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P. es., nel caso di un punto nel piano non soggetto a forze, usando le coordinate polari e i rispettivi momenti l'espressione dell'hamiltoniana
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Il caso dell'operatore incompleto si può far rientrare nel precedente, considerando p infinito.
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Se G non dipende esplicitamente da t, nel secondo membro mancherà il primo termine.
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Questo risultato fu già enunciato nel § 46, p. II.
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L'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari è dunque per una particella nel campo magnetico:
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inserendovi per le autofunzioni le espressioni trovate nel § 39, p. II: tuttavia questo procedimento porterebbe a calcoli assai più lunghi di quelli
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(1) La parola «risonanza» è qui usata nel senso classico. In meccanica quantistica essa ha anche un altro significato, che verrà illustrato nel cap
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L'operatore hamiltoniano così formato, permette poi di scrivere, nel modo solito, l'equazione per la , e cioè
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Nel primo caso si ha dunque , vale a dire lo spin è diretto con certezza nel verso dell'asse z, nel secondo caso e lo spin è diretto con certezza nel
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Nel senso spiegato al § 27.
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Nel caso generale, si trova che la magnetizzazione equivalente è data, nella stessa approssimazione, da
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Si osservi ora che nel caso attuale l'hamiltoniano si riduce (v. form. (274)) a
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Nel primo caso le equazioni danno (, mentre restano arbitrarie (salvo l'ortogonalità e la normalizzazione) e si possono prendere uguali a 1 e a 0
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Questa invarianza va intesa nel modo seguente. Si consideri un secondo sistema di riferimento in moto traslatorio rettilineo e uniforme rispetto al
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Un secondo modo di soddisfare le (334) consiste nel prendere le della forma
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precisamente il valore . Tenendo poi presenti i limiti entro cui può variare m, si vede che Nz, può variare, nel caso (338), da a e, nel caso (341), da a
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nel qual caso si dice antisimmetrica.
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si ricava che l'incremento della nel tempo dt è
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Ciò significa, per il principio generale della meccanica quantistica, che una misura dello spin totale darebbe nel primo caso 0, nel secondo . (Il
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(1)La ragione di questi nomi sta nel fatto che si credeva che le orbite dei due elettroni fossero complanari nel parelio e ortogonali nell'ortoelio
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Tali esperienze consistono nel provocare l'eccitazione degli atomi per urto elettronico e nel misurare indirettamente la forza viva perduta dagli
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Mentre queste difficoltà si andavano accumulando nel campo della meccanica atomica, non meno grave appariva la situazione nel campo della teoria
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Accademia della crusca
